1948 m. Čikagoje gimusi B.Greer 1986 m. persikėlė į Jungtinę Karalystę. Ji tapo gerai atpažįstamu veidu britų televizijoje, be kita ko, kaip diskusijų laidų „Newsnight“ ir „Question Time“ dalyvė.
Rašytoja buvo apdovanota Verity Bargate premija už geriausią pjesę „Munda Negra“, taip pat yra romanų „Hanging By Her Teeth“ (1994) ir „Entropy“ (2009) autorė.
Tarp kitų jos kūrinių – biografija „Langston Hughes: The Value Of Contradiction“ (2011) ir pjesė „Marilyn And Ella“ (2008) apie aktorę Marilyn Monroe ir dainininkę Ellą Fitzgerald.
2005 m. B.Greer tapo Britų muziejaus patikėtinių tarybos nare, o vėliau ėjo ir pirmininko pavaduotojos pareigas. Ji taip pat buvo Londono kino mokyklos ir Karališkosios operos teatro valdybų nare, o 2022 m. buvo išrinkta Karališkosios literatūros draugijos nare.
Be to, ji ėjo Kingston upon Thames (Londone) esančio Kingston universiteto rektorės pareigas.
2010 m. už nuopelnus meno srityje B.Greer buvo apdovanota Britų imperijos ordino (OBE) garbės vardu.